Taufik AV: BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

1. Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika sering juga disebut barisan hitung adalah barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan menambah atau mengurangi dengan suatu bilangan tetap. Bilangan tetap tersebut dinamakan pembeda, (biasanya disimbolkan dengan b). Jadi pembeda merupakan selisih antara 2 dua suku yang berturutan. Suku pertama barisan aritmetika ditulis u1 , sedangkan suku ke-n dari suatu barisan bilangan aritmetika dituliskan sebagai un.

Contoh:

1. Barisan aritmetika : 3, 7, 11, 15,...

Suku pertamanya u1 = 3. Selisih antara dua suku yang berturutan adalah 7-3 = 11-7

= 15-11 = 4. Jadi pembedanya adalah 4.

2. Barisan bilangan: 26, 23, 19, 16,...

Suku pertamanya u1 = 26. Selisih antara dua suku yang berturutan adalah 23-26 =

19-23 = 16-19 = -3. Jadi pembedanya adalah -3.

a. Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika

Untuk menentukan suku ke-n suatu barisan bilangan aritmetika dimana n relatif

besar tentunya akan sulit jika kita harus menuliskan seluruh anggota barisan bilangan tersebut. Untuk itu diperlukan cara untuk menentukan suku ke-n dari suatu barisan bilangan aritmetika dengan n sembarang bilangan asli. Misal suku pertama suatu barisan aritmetika adalah a dengan pembeda b, maka barisan aritmetika tersebut dapat dituliskan sebagai berikut :

a, a + b, a + b + b, a + b + b + b, ….

atau dapat dituliskan

a, a + b, a + 2b , a + 3b, …

Dari barisan di atas, jika suku-1 ditulis u1, suku ke-2 ditulis u2,….dst maka diperoleh barisan u1,u2 ,u3...

Selisih antara dua suku yang berturutan u2-u1 = u3-u2 = .... = b

Sehingga dapat dibuat tabel berikut :

U1	U2	U3	U4	U5	.......	Un
a	a+b	a+2b	a+3b	a+5b	………	?
a+(1-1)b	a+(2-1)b	a+(3-1)b	a+(4-1)b	a+(6-1)b	………	a+(n-1)b

Jadi rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah:

un = a + ( n – 1) b

atau

un = u1 + (n – 1) b

Keterangan :

un = suku ke-n

u1 = suku pertama

a = suku pertama

b = pembeda

Contoh :

1. Tentukan suku ke-21 dari barisan aritmetika : 17, 15, 13, 11,…

Penyelesaian:

Diketahui a = 17, b = -2, dan n = 21, maka U21 = 17 + (21-1)(-2) = -23

2. Diketahui suku ke-1 dari barisan aritmetika adalah 6 dan suku kelimanya 18,

tentukan pembedanya.

Penyelesaian:

Diketahui : a = 6, dan U5 = 18

Un = a + ( n – 1) b

U5 = 6 + (5 – 1) b

18 = 6 + 4b

4b = 12

b = 3

Jadi pembedanya adalah 3.

Barisan aritmetika yang bilangan-bilangannya semakin besar nilainya disebut barisan

aritmetika naik, sedangkan barisan aritmetika yang bilangan-bilangannya semakin kecil nilainya disebut barisan aritmetika turun. Pembeda pada barisan aritmetika naik bernilai positif, sedangkan pembeda pada barisan aritmetika turun adalah negatif.

Contoh:

1) 2, 5, 8, 11, 14,….. , pembedanya adalah 3 (positif), jadi barisan tersebut merupakan

barisan naik.

2) 45, 43, 41, 39,….., pembedanya adalah -2 (negatif), jadi barisan tersebut merupakan

barisan turun.

b. Rumus Suku Tengah Barisan Aritmetika

Pada barisan aritmetika, suku yang terletak di tengah jika banyaknya suku ganjil dinamakan suku tengah. Misalnya diberikan barisan aritmetika u1,u2 ,u3...un dengan n ganjil dan suku tengahnya adalah ut maka berlaku :

Ut =

jadi suku tengah barisan aritmetika adalah :

c. Suku sisipan

Misalkan diberikan dua bilangan p dan q, kemudian disisipkan k buah bilangan diantara kedua bilangan tersebut sehingga membentuk barisan aritmetika dengan beda b sebagai berikut:

p, (p + b), (p +2b), ..., (p+kb), q

maka beda b dari barisan tersebut dapat ditentukan sebagai berikut:

b = un - un-1 = q - ( p + kb)

b = q - p - kb

kb + b = q - p

b(k +1) = q - p

Jadi beda barisan aritmetika yang terbentuk adalah

2. Deret Aritmetika

Perhatikan barisan aritmetika 3, 5, 7, 9, ….

Dari barisan aritmetika tersebut dapat dibuat suatu deret aritmetika :

Sn = 3 + 5 + 7 + 9 +….

Dengan demikian jika diketahui suatu barisan bilangan aritmetika : u1, u2,, u3,, … un

maka dapat dibuat suatu deret aritmetika:

Sn = u1 + u2 + u3 +….+ un

Bagaimanakah cara menentukan rumus Sn?

Perhatikan bahwa

u1 = a,

u2= a + b

u3,= a+2b

………….

un = a + (n-1)b

Maka diperoleh :

Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + ….+.(a + (n-1)b)

Sn = (a + (n-1)b) + (a + (n-2)b) + ….+ a

2 Sn = (2a + (n-1)b) + (2a + (n-1)b) + …. + (2a + (n-1)b) +

atau :

2 Sn = n (2a + (n – 1 )b

jadi :

atau

Rumus di atas menyatakan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika.

Untuk setiap deret aritmetika berlaku :

Sn – Sn – 1 = un

dimana (un = suku ke n dari deret aritmetika)

Pada suatu deret aritmetika, jika pembeda barisan positif maka deret yang

terbentuk disebut deret aritmetika naik dan jika pembeda barisan negatif maka deret

yang terbentuk disebut deret aritmetika turun.

3. Barisan Geometri

Barisan geometri atau barisan ukur adalah barisan bilangan yang tiap sukunya

diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikan dengan suatu bilangan tetap yang tidak sama dengan nol. Bilangan tetap tersebut dinamakan pembanding atau rasio, (biasanya disimbolkan dengan p).

Pada barisan geometri berlaku :

dalam hal ini p disebut pembanding.

Untuk menentukan suku ke-n pada barisan geometri, maka harus ditentukan

hubungan antara masing-masing suku dengan bentuk bilangan berpangkat. Untuk

lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut :

Diketahui barisan geometri: 9, 27, 81, 243 …

Maka

u1 = 9 = 9 x 31-1 u2 = 27 = 9x 32-1

u3 = 81 = 9 x 33-1 u4 = 243 = 9 x 34-1

……………….dst

Jadi, un = 9 x 3n – 1

Perhatikan bahwa, jika a adalah suku pertama dan p adalah pembanding, maka

barisan geometri dapat ditulis sebagai: a, ap, ap2, ap3, …

Dari barisan di atas, jika suku-1 ditulis u1, suku ke-2 ditulis u1,….dst diperoleh barisan

u1,u2 ,u3........

Sehingga dapat dituliskan :

u1	u2	u3	u4	u5	…….	un
a	ap	ap2	ap3	ap4	……..	?
a	a x p	a x p3-1	a x p4-1	a x p5-1	……..	a x pn-1

Jadi rumus suku ke-n dari barisan geometri adalah :

Atau

Keterangan :

Un = suku ke-n

u1 = suku ke-1

a = suku pertama

p = pembanding

4. Deret Bilangan

Secara umum, deret diartikan sebagai jumlah dari suku-suku suatu barisan bilangan dan biasanya disimbolkan dengan Sn . Jika diketahui barisan dengan suku-suku

u1,u2 ,u3 ,...,un , maka secara matematis dapat dituliskan :

Sn = u1 + u2 + u3 + …+ un

Beberapa pengertian tentang deret :

Deret berhingga adalah deret yang banyaknya suku berhingga, atau disebut jumlah n suku pertama dari barisan berhingga.Deret berhingga dinyatakan dengan Sn.

Contoh :

Barisan 2, 4, 6, 8, 10 adalah barisan hingga yang terdiri dari 5 suku. Maka, deret

S1= 2,

S2 = 2 + 4 = 6

S3 = 2 + 4 + 6 = 12

S4= 2 + 4 + 6 + 8 = 20 dan

S5= 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

disebut deret hingga dari barisan 2, 4, 6, 8, 10 .

Deret tak berhingga adalah deret yang diperoleh dari suatu barisan tak hingga, atau disebut jumlah sampai tak hingga suku-suku barisan tak hingga. Deret tak hingga

dinotasikan dengan S¥.

5. Deret Geometri

Perhatikan barisan geometri 2, 4, 8, 16,….Jika suku-suku dari barisan geometri tersebut dijumlahkan maka akan diperoleh deret geometri. Jadi 2 + 4 + 8 + 16 +……dalah deret geometri. Secara umum dapat dikatakan bahwa, jika diketahui n suku yang pertama dari suatu barisan geometri, maka jumlah n suku yang pertama diartikan sebagai deret geometri.

Jika a, ap, ap2 , ap3 , …., apn-1 adalah barisan geometri , maka